一、函数极限

1. 极限经典等式

以下式子为极限当中常用到的，或者经典的能够帮助我们高效求解的等式：

• 自然常数 ​e 的定义：

• 泰勒公式：

或可写成

• 泰勒展开（在​x \to 0 处）：

2. 常用等价无穷小

使用等价无穷小代换的时候需要注意，等价无穷小代换只能用于乘除运算中的无穷小量。

如果 ​\alpha \sim \alpha^{\prime} 和 ​\beta \sim \beta^{\prime}，那么：

例如，​\displaystyle \lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin{x} \cdot \tan{x}}{x^2} 中，代换后可得：​\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x^2} = 1。

同时应该尽量避免在加减运算中使用等价无穷小代换，而推荐使用泰勒展开（且必须保留高阶项）。

通常有以下几种常用的等价无穷小代换：

（当 ​x \to 0 时）

1. 三角函数型：

（泰勒展开推导可得）

2. 指数对数型：

设一个整数数列 ​\displaystyle z_n = \frac{1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k}{n^{k + 1}}，求 ​\lim\limits_{x \to \infty} z_n 的值。

3. 数列极限

根据定积分的定义（​S_n 为黎曼和，且这个和的极限存在时）：

由于数列通常是离散的 ​[1 \dots n]，对于上述式子，有以下代换（实质上是将 ​1 \sim n 的求和区间代换到 ​a \sim b 积分区间，将 ​[a, b] 区间分成 ​n 个等宽的小区间。如果不进行替换，则 ​\Delta x 的值是固定的，不是无穷小，无法直接应用定积分定义）：

其中，​\displaystyle \Delta x = x_i - x_{i - 1} = \frac{b - a}{n}，​\displaystyle c_i = a + \frac{i}{n}(b - a)。也就是说，每个元素之间相距 ​\Delta x，第 ​i 个元素的值为 ​c_i。

特别地，如果将 ​[a, b] 代换为 ​[0, 1] 区间时，上述式子可以简化为：

例如：

即，将 ​\displaystyle \frac{1}{n} 代换为 ​\mathrm{d}x，将 ​\displaystyle \frac{i}{n} 代换为 ​x。

3.1 ​O'Stolz 定理

可以简单理解为数列求极限当中的洛必达法则，有以下两种形式：

• (​\displaystyle \frac{*}{\infty} 型) 设数列 ​\{a_n\}、​\{b_n\} 满足：

  1. ​\{b_n\} 严格单调递增且 ​\lim\limits_{n \to \infty} b_n = +\infty.
  2. ​\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_{n}}{b_{n+1} - b{n}} = L（其中，​L 可以为有限实数、​+\infty、​-\infty）。

  则，​\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L。

• （​\displaystyle \frac{0}{0} 型）设数列 ​\{a_n\}、​\{b_n\} 满足：

  1. ​\{b_n\} 严格单调递减且 ​\lim\limits_{n \to \infty} b_n = 0.
  2. ​\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0.
  3. ​\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_{n}}{b_{n+1} - b{n}} = L（其中，​L 可以为有限实数、​+\infty、​-\infty）。

  则，​\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L。

例如：

求极限 ​\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k}{n^{k + 1}}

解：上述极限满足 ​O'Stolz 定理。

由于 ​n^{k+1} = (n-1+1)^{k+1}，运用二项式定理：

因此：

可得：

二、导数与微分

1. 导数的定义

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。

定义：设函数 ​f(x) 在点 ​x_0 的某邻域 ​U(x_0) 内有定义，若极限 ​\displaystyle \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0)} 存在，则称 ​f 在点 ​x_0 处可导，并称该极限为函数 ​f 在点 ​x_0 处的导数，记作 ​f^{\prime}(x_0)。

令 ​x = x_0 + \Delta x，​\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)，则上式可写为：

几何意义：当函数的定义域和值域都是 ​\mathbb{R} 的子集时，导数可以标识函数的曲线上的切线斜率。设 ​f(x) 在点 ​x = x_0 的切线斜率是 ​k，因此曲线 ​f(x) 在点 ​(x_0, f(x_0)) 处的切线方程为：

法线方程为：

2. 基本求导公式

1. ​(c)^{\prime} = 0 （​c 为常数）
2. ​(x^\alpha)^{\prime} = \alpha x^{\alpha - 1} ~~(\alpha \in \text{R})
3. ​(\sin x)^{\prime} = \cos x,~ (\cos x)^{\prime} = -\sin x
4. ​(\tan x)^{\prime} = \sec^2{x},~ (\cot{x})^{\prime} = -\csc^2{x},~ (\sec x)^{\prime} = \sec x \cdot \tan x,~ (\csc x)^{\prime} = -\csc x \cdot \cot x
5. ​(a^x)^{\prime} = a^x \ln a ~~(a > 0, a \neq 1),~ (e^x)^{\prime} = e^x
6. ​\displaystyle (\log_a{\left| x \right|})^{\prime} = \frac{1}{x\ln{a}},~ (\ln \left| x \right|)^{\prime} = \frac{1}{x}
7. ​\displaystyle (\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},~ (\arccos x)^{\prime} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},~ (\arctan x)^{\prime} = \frac{1}{1 + x^2},~ (\text{arccot}\, x)^{\prime} = -\frac{1}{1 + x^2}
8. ​\displaystyle \left[ \ln{(x + \sqrt{x^2 + a^2})} \right]^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}
9. ​\displaystyle \left[ \ln{(x + \sqrt{x^2 - a^2})} \right]^{\prime} = \frac{1}{x^2 - a^2}

3. 基本求导法则

设 ​u = u(x), v = v(x) 都可导，则：

1. ​(u \pm v)^{\prime} = u^{\prime} \pm v^{\prime}
2. ​(cu)^{\prime} = cu^{\prime}（​c 是常数）
3. ​(uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}
4. ​\displaystyle (\frac{u}{v})^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}(v \neq 0)

推广：

• ​\left[ u_1(x) \pm u_2(x) \pm \cdots \pm u_n(x) \right]^{\prime} = u_1^{\prime}(x) \pm u_2^{\prime}(x) \pm \cdots \pm u_n^{\prime}(x)
• ​(u_1 u_2 \cdots u_n)^{\prime} = u_1^{\prime} u_2 \cdots u_n + \cdots + u_1 u_2 \cdots u_n^{\prime}

4. 求导计算

4.1 反函数求导

首先我们知道，反函数的条件为：​f(x) 可导，且 ​f^{\prime}(x) \neq 0，则存在反函数 ​x = f^{-1}(y) = \varphi(y)。

也就是说，一个函数如果有反函数，则必须是严格单调函数。

反函数求导定理：若函数 ​y = f(x) 在 ​(a, b) 上连续、严格单调、可导，并且 ​f^{\prime}(x) \neq 0，则它的反函数 ​x = f^{\prime}(y) 在 ​(a, b) 上可导且有：

也就是，反函数的导数，等于直接函数（原函数）导数的倒数。

对于反函数的二阶导数，根据导数的定义，​\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(y) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\varphi^{\prime}(y)。

由于 ​\displaystyle \varphi^{\prime}(y) = \frac{1}{f^{\prime}(x)} 为 ​y 的复合函数，我们可以设 ​\displaystyle u = \frac{1}{f^{\prime}(x)}, v = x = \varphi(y)。

首先对 ​u 关于 ​x 求导，可得：​\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = - \frac{f^{\prime \prime}(x)}{(f^{\prime}(x))^2}。

又因为 ​x = \varphi{(y)}，且 ​x 对 ​y 的导数 ​\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \varphi^{\prime}(y)= \frac{1}{f^{\prime}(x)}。

因此，根据复合函数求导法则 ​\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\varphi^{\prime}(y) = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}。

代入得：

4.2 参数方程求导

设 ​x，​y 均为关于 ​t 的函数，按照下列公式代入即可：

4.3 隐函数求导

通常有三种常用方法可以对隐函数进行求导，而其中使用不同的方法对隐函数的处理也有部分不同，详见下列表格：

例：​\displaystyle y = x^2 - \frac{1}{2} \sin y，求 ​\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} 和 ​\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}。

直接求导：

公式法：设 ​\displaystyle F(x, y) = y - x^2 + \frac{1}{2}\sin y = 0。

则：

因此：

5. 中值定理

中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理。

1. 费马引理：若 ​f(x) 在可导点 ​x_0 处为极值点，则 ​f^{\prime}(x_0) = 0。
2. 罗尔定理：若 ​f(x) 满足在 ​[a, b] 内连续、​(a, b) 内可导且 ​f(a) = f(b)，则 ​\exists \xi \in (a, b) 使得 ​f^{\prime}(\xi) = 0。
3. 拉格朗日中值定理：若 ​f(x) 满足在 ​[a, b] 内连续、​(a, b) 内可导，则 ​\exists \xi \in (a, b)，使得：

4. 柯西中值定理：若 ​f(x) 和 ​g(x) 满足在 ​[a, b] 内连续、​(a, b) 内可导且 ​g^{\prime}(x) \neq 0，则：

6. 曲率计算

曲率用于描述曲线偏离直线的程度或表面偏离平面的程度。

对于 ​y = f(x) 的曲率计算公式为：

对于 ​\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x = x(t) & \\ y = y(t) & \end{aligned} \right. 的曲率计算公式为：

曲率半径为：​\rho = 1 / K。

三、积分

1. 不定积分

以下是不定积分的常规形式，通常的结果为一个集合（​C 为任意常数）。

1. ​\displaystyle \int{k} \, \mathrm{d}x = kx + C
2. ​\displaystyle \int x^a \, \mathrm{d}x = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C~(a \neq -1)
3. ​\displaystyle \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \ln |x| + C
4. ​\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \arctan x + C
5. ​\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, \mathrm{d}x= \arcsin x + C
6. ​\displaystyle \int a^x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\ln a}a^x + C~(a > 0, a \neq 1)
7. ​\displaystyle \int \cos x \, \mathrm{d}x = \sin x + C
8. ​\displaystyle \int \sin x \, \mathrm{d}x = -\cos x + C
9. ​\displaystyle \int \sec^2x \, \mathrm{d}x = \tan x + C
10. ​\displaystyle \int \csc^2x \, \mathrm{d}x = -\cot x + C
11. ​\displaystyle \int \sec x \tan x \, \mathrm{d}x = \sec x + C
12. ​\displaystyle \int \csc x \cot x \, \mathrm{d}x = -\csc x + C
13. ​\displaystyle \int \sec x \, \mathrm{d}x = \ln{|\sec x + \tan x|} + C
14. ​\displaystyle \int \csc x \, \mathrm{d}x = \ln{|\csc x - \cot x|} + C
15. ​\displaystyle \int \tan x \, \mathrm{d}x = -\ln{|\cos x|} + C
16. ​\displaystyle \int \cot x \, \mathrm{d}x = \ln{|\sin x|} + C
17. ​\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan{\frac{x}{a}} + C~(a > 0)
18. ​\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln{\left| x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right|} + C~(a > 0)
19. ​\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + C~(a > 0)
20. ​\displaystyle \int \frac{1}{a^2 - x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2a}\ln{\left| \frac{a + x}{a - x} \right|} + C~(a > 0)

2. 换元积分法

换元积分法主要通过引进中间变量作变量替换使原式简易，从而来求较复杂的不定积分。

2.1 第一类换元积分法（凑微分法）

顾名思义，凑微分法就是把需要的形式给凑出来。其定义如下：

例如：

1. ​\displaystyle \int f(ax + b) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a} \int f(ax + b) \, \mathrm{d} (ax + b) ~ (a \neq 0)
2. ​\displaystyle \int f(\ln x) \frac{1}{x} \, \mathrm{d} x = \int f(\ln x) \, \mathrm{d} \ln x
3. ​\cdots

2.2 第二类换元积分法

定义为：令 ​x = \varphi(t)，使 ​\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x = \int f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t，其中 ​x = \varphi(t) 单调可导且 ​\varphi^{\prime}(t) \neq 0。

对于第二类换元积分，可以有以下多种代换方法：

1. 三角代换（​a > 0）

被积函数含 ​\displaystyle \sqrt{a^2 - x^2}，令 ​x = a\sin t，​\displaystyle t \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]，则 ​\displaystyle \sqrt{a^2 - x^2} = a \cos t；

被积函数含 ​\displaystyle \sqrt{x^2 + a^2}，令 ​x = a\tan t，​\displaystyle t \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)，则 ​\displaystyle \sqrt{x^2 + a^2} = a \sec t；

2. 根式代换

被积函数含 ​\displaystyle \sqrt[n]{ax + b}，令 ​\displaystyle t = \sqrt[n]{ax + b}，有 ​\displaystyle x = \frac{1}{a}(t^n - b)。

3. 倒代换

当被积函数分母的最高次数高于分子的最高次数时，可令 ​\displaystyle x = \frac{1}{t}。

3. 分部积分法

分部积分法主要通过交换被积表达式和积分变量，将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式。

定义：设 ​u = u(x), v = v(x) 且有连续的导数。

通常分部积分的优先级顺序为“反对幂指三”（或“反对幂三指”），即五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数。

上述优先级指的是作为函数 ​u(x) 放在 ​\mathrm{d}x 前面的优先级。

例如：

4. 定积分

定义：一般指在一个区间上有定义的一元实函数的黎曼和的极限。它描述的是将函数在区间上作微元后，将函数值累加起来的过程。

几何意义：通常为曲线与坐标轴围成的面积。

4.1 定积分性质

定积分具有以下常用性质：

1. ​\displaystyle \int^a_a f(x) \, \mathrm{d} x = 0.
2. ​\displaystyle \int^b_a f(x) \, \mathrm{d} x = -\int^a_b f(x) \, \mathrm{d} x.
3. ​\displaystyle \int^b_a \left[ \alpha f(x) + \beta g(x) \right] \, \mathrm{d} x = \alpha \int ^b_a f(x) \, \mathrm{d} x + \beta \int^b_a g(x) \, \mathrm{d} x，​\alpha, \beta \in R.
4. ​\displaystyle \int^b_a f(x) \, \mathrm{d} x = \int^c_a f(x) \, \mathrm{d} x + \int^b_c f(x) \, \mathrm{d} x.
5. ​\displaystyle \int^b_a 1 \, \mathrm{d} x = \int^b_a \, \mathrm{d} x = b - a.

设 ​a < b，且定积分存在时：

• 若 ​f(x) \geq 0，则 ​\displaystyle \int^b_a f(x) \, \mathrm{d} x \geq 0。
  • 推论 1：若 ​f(x) \leq g(x)，则 ​\displaystyle f(x) \, \mathrm{d} x \leq \int^b_a g(x) \, \mathrm{d} x。
  • 推论 2：​\displaystyle \left| \int^b_a f(x) \, \mathrm{d} x \right| \leq \int^b_a |f(x)| \, \mathrm{d} x。

4.2 牛顿-莱布尼茨公式

如果函数 ​F(x) 是连续函数 ​f(x) 在区间 ​[a, b] 上的一个原函数（即：​F^{\prime}(x) = f(x)），那么：

4.3 积分中值定理

设 ​f(x) 在 ​[a, b] 上连续，则存在 ​\xi \in [a, b]，使得：

其中，​\displaystyle f(\xi) = \frac{1}{b - a}\int^b_a f(x) \, \mathrm{d}x 称为函数 ​f(x) 在区间 ​[a, b] 上的平均值。

5. 变限积分

定义：以积分上限或下限为自变量的函数。当定积分的积分限在区间内变动时，其对应值形成的函数称为积分变限函数。

设 ​f(x) 在 ​[a, b] 上可积，且 ​a \leq x \leq b，则：

5.1 性质

1. 若 ​f(x) 在 ​[a, b] 上可积，则函数 ​\displaystyle F(x) = \int^x_a f(t) \, \mathrm{d}t 在 ​[a, b] 上连续；
2. 若 ​f(x) 在 ​[a, b] 上连续，则函数 ​\displaystyle F(x) = \int^x_a f(t) \, \mathrm{d} t 在 ​[a, b] 上可导，且 ​F^{\prime} (x) = f(x)。
3. 若 ​f(x) 为连续奇函数，则 ​\displaystyle \int^x_0 f(t) \, \mathrm{d} t 为偶函数，​f(x) 的原函数必然为偶函数。
4. 若 ​f(x) 为连续偶函数，则 ​\displaystyle \int^x_0 f(x) \, \mathrm{d}t 为奇函数，​f(x) 的原函数不一定为奇函数（因为有常数 ​C 使得其不一定经过原点）。

5.2 求导计算

设 ​\displaystyle \Phi(x) = \int^{\phi(x)}_{\varphi(x)} f(t) \, \mathrm{d} t，则：

6. 反常积分（广义积分）

反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

6.1 无穷区间

每个被积函数只能有一个无穷限，若上下限均为无穷限，则分区间进行积分：

6.2 瑕积分

瑕点：指在积分区间内的某一点或某些点上，被积函数的值出现无穷大或不可导的情况。

与上述类似，每个被积函数只能有一个瑕点，多个瑕点则分区间进行积分。

设瑕点 ​x = c：

四、微分方程

通常来说，微分方程是指含有未知函数 ​y 及其各阶导数的关系式，而解微分方程就是找出未知函数，属于微积分的应用部分。

对于 ​n 阶微分方程：

1. 阶：指的是方程中 ​y 导数的最高阶数。
2. 解：使得微分方程为恒等式的函数 ​y(x)。
3. 通解：含有的独立常数个数与方程阶数相同的解。
4. 特解：不含任意常数或任意常数确定后的解。
5. 初始条件：确定通解中任意常数的条件。

1. 一阶微分方程

1.1 可分离变量方程

若微分方程形如：

那么这种微分方程称为可分离变量的微分方程。

解法

例如：求微分方程 ​\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2xy^2 的通解。

1.2 齐次方程

若微分方程形如：

那么这种微分方程称为齐次方程。

解法：令 ​\displaystyle u = \frac{y}{x}，则 ​\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u + x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}，转化为 ​\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{g(u) - u} = \frac{\mathrm{d}x}{x}.

例如：求微分方程 ​\displaystyle y^2 + x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} 的通解。

令 ​\displaystyle u = \frac{y}{x} 得，​\displaystyle u^2 + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.
可得：

由于 ​y = ux，因此可得：

分离变量可得：​\displaystyle \left( 1 - \frac{1}{u} \right) \mathrm{d}u = \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x.
解得：​\displaystyle y = Ce^{\frac{y}{x}}.

1.3 一阶线性微分方程

若微分方程形如：

当 ​q(x) \equiv 0 时称为齐次，否则称为非齐次。

通解公式：

1.4 伯努利方程

若微分方程形如：

那么这种微分方程称为伯努利方程。

解法

1. 确定 ​\alpha，令 ​\displaystyle z = y^{1 - \alpha}；
2. 方程化为：​z^{\prime} + (1 - \alpha)p(x)z = (1 - \alpha) q(x).

2. 二阶可降解型微分方程

2.1 ​y^{\prime\prime} = f(x, y^{\prime}) 型

解法

1. 令 ​p(x) = y^{\prime}，则 ​y^{\prime\prime} = f(x, y^{\prime}) 转化为 ​p^{\prime} = f(x, p)；
2. 解得 ​p(x) = \varphi(x, C_1)，则通解为 ​\displaystyle y = \int \varphi(x, C_1) \, \mathrm{d}x + C_2.

2.2 ​y^{\prime\prime} = f(y, y^{\prime}) 型

解法

1. 令 ​p(y) = y^{\prime}，则 ​\displaystyle y^{\prime\prime} = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = p \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}，原方程转化为 ​\displaystyle p \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = f(y, p)；
2. 解得 ​p = \varphi(y, C_1)，即 ​\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi(y, C_1)，分离变量积分 ​\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}y}{\varphi(y, C_1)} = x + C_2 得到 ​y(x).

3. 二阶常系数线性微分方程

二阶常系数线性微分方程的标准形式为：

当 ​f(x) = 0，即 ​y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy = 0 时，为二阶常系数齐次线性微分方程；

当 ​f(x) = 0，即​y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy = f(x) 时，为二阶常系数非齐次线性微分方程。

非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和（常数变易法）。

3.1 二阶常系数齐次线性微分方程

对于 ​y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy = 0，其特征方程为：​\lambda^2 + p\lambda + q = 0，有以下通解公式：

3.2 二阶常系数非齐次线性微分方程

使用待定系数法：

类型一：若 ​f(x) = P_m(x)r^{rx}，其中 ​P_m(x) 是一个 ​x 的 ​m 次多项式，​r 是一个实数，令：

其中，​Q_m(x) 是系数待定的 ​m 次多项式，​k 等于 ​r 作为特征方程根的重数¹。

类型二：若 ​\displaystyle f(x) = e^{\alpha x} \left[ P_l(x)\cos{\beta}x + Q_m(x)\sin{\beta}x \right]，其中 ​P_l(x) 和 ​Q_m(x) 分别为 ​x 的 ​l 和 ​m 次多项式，​\alpha 是一个实数，令：

其中，​M_n(x), N_n(x) 是系数待定的 ​n 次多项式，​k 的取法如下：

1. 当 ​\alpha \pm \beta i 不是特征根时，​k = 0；
2. 当 ​\alpha \pm \beta i 是特征根时，​k = 1。