方向导数通常研究一个标量场（即一个多元函数）在某一点沿着特定方向变动时的瞬时变化率（标量）。

梯度通常研究一个标量场的某个点上函数值改变最快的方向（向量）。

在一元函数中，通常直接使用导数 ​f'(x) 而非方向导数或梯度。这是因为一元函数的导数 ​f'(x) 本身已经完整描述了函数在 ​x 轴正方向上的变化率，而梯度 ​\nabla f(x) 退化为一个一维向量 ​(f'(x))，其方向导数也只是 ​\pm f'(x)。

一、方向导数

1. 定义

设 ​l 为 ​xOy 平面上以点 ​P_0(x_0, y_0) 为起点的一条射线，​\textbf{e}_l = (\cos \alpha, \cos \beta) 是与 ​l 同方向的单位向量，射线 ​l 的参数方程为 ​\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x = x_0 + t\cos \alpha, \\ y = y_0 + t\cos\beta, \end{aligned} \right.. 若极限：

存在，则称此极限为函数 ​f(x, y) 在点 ​(x_0, y_0) 点沿 ​l 方向的方向导数，记为 ​\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{(x_0, y_0)}.

在平面中从某个点出发，我们可以沿四面八方的方向随意移动。而方向导数给了我们计算指定方向的变化率，

2. 计算

设 ​\textbf{e}_l = (\cos \alpha, \cos \beta) 为 ​l 同方向的单位向量，则：

实际就是 ​(f^{\prime}_x(x_0, y_0), f^{\prime}_y(x_0, y_0)) 与 ​\textbf{e}_l 的数量积（因此方向导数是一个标量）。而我们通常将 ​(f^{\prime}_x(x_0, y_0), f^{\prime}_y(x_0, y_0)) 称为梯度。

二、梯度

1. 定义

设函数 ​f(x, y) 在平面区域 ​D 内具有一阶连续偏导数，对于每一点 ​P_0(x_0, y_0) \in D，都可以定出一个向量：

称为 ​f(x, y) 在点 ​P_0(x_0, y_0) 的梯度。记为 ​\mathbf{grad}\, f(x_0, y_0) 或 ​\nabla f(x_0, y_0)，即：

其中，​\nabla = f^{\prime}_x(x_0, y_0)\mathbf{i} + f^{\prime}_y(x_0, y_0)\mathbf{j} 又称为（二维的）向量微分算子或 ​Nabla 算子，​\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}。

2. 与方向导数的关系

由于

因此，方向导数 ​l 与梯度方向相同时，​\cos\left< \nabla f(x_0, y_0), \textbf{e}_l \right> = 1，此时的方向导数 ​\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{(x_0, y_0)} 最大。

参考